Перейти на главную страницу
Поиск по сайту

Метод хорд примеры решения

Многие задачи исследования различных объектов с помощью математических моделей, применение их для прогноза или расчета приводят к необходимости решения нелинейных уравнений. Поэтому в данном пособии этому разделу уделено достаточное внимание. На первом этапе отделяют корни, т. На втором этапе уточняют корень, т. Идеи аналитических методов первого этапа базируются на очевидном свойстве непрерывных функций: корни функции точки пересечения f х с горизонтальной осью обязательно лежат между соседними экстремумами функции хотя обратное неверно: между каждой парой экстремумов необязательно находится корень. Идеи методов второго этапа можно сгруппировать по трем основным направлениям. В первом — поиск корня с заданной погрешностью сводится к перебору всех возможных значений аргумента с проверкой наличия решения. Во втором — поиск корня нелинейной функции заменяется поиском корня той или иной более простой функции линейной, параболическойблизкой к исходной нелинейной; как правило, процесс поиска осуществляется итерационными процедурами однотипными, последовательно повторяющимися. Условием окончания процесса решения уравнения т. Условие окончания поиска выбирается исходя из неформальных соображений, и в некоторых случаях применение разных условий может привести к существенно разным результатам. Отсюда и выбирают условие окончания поиска решения. Знание особенностей левой части нелинейного уравнения позволяет в ряде случаев, не производя отделения корней, определить число корней причем отдельно действительных и комплексныхчто невозможно в общем случае, а также предельные оценки корней, интервалы существования корней. Это, прежде всего, касается алгебраических уравнений с действительными коэффициентами далее для простоты — алгебраическихчасто встречающихся в практике. Такие уравнения имеют вид:. Отделение корней может производиться графически путем построения графика функции f x или аналитически. Для аналитического отделения корней находят все критические точки функции f хт. Это можно сделать численными методами или — в несложных случаях — аналитически. Для этого f х дифференцируют, приравнивают производную к нулю и решают полученное уравнение относительно х. Кроме того, определяют все точки, где по тем или иным причинам например, знаменатель обращается в нуль, под логарифмом появляется нуль и т. В этих критических точках или в непосредственной близости от них определяют знак функции f х iт. Затем строят ряд знаков функции в критических точках, включая в рассмотрение и крайние точки числовой оси - ¥ и + ¥. Анализируют этот ряд, и по числу смен знаков определяют количество корней равно числу смен знаков sign f х i интервалы, где локализованы эти корни. На левой и на правой границах такого интервала функция f х должна иметь разные знаки. В случае необходимости можно дополнительно к критическим точкам использовать и произвольные точки, что позволяет сузить интервал локализации корня. Найти количество корней интервалы нахождения этих корней. Чтобы завершить операцию отделения корней, можно попытаться уменьшить промежутки, содержащие корни, таким образом, чтобы их длина была меньше. Для этого возьмем несколько значений х и внесем их дополнительно в табл. Отделить корни можно и графически. Для этого строится график функции, и по графику определяется интервал, на котором находится корень точка пересечения графика с осью х. Результаты расчета занести в таблицу 2. Рассмотрим методы уточнения корней их основные идеи. Отметим очевидный момент: при прочих равных условиях тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден за меньшее число раз вычисления функции f x. В этом случае сначала исходный отрезок делится на две равные части пополам. Затем сравнивают знаки функции на концах каждой из двух половинок например, знак произведения значений функций на концах и определяют ту половинку, в которой содержится решение знаки функции на концах должны быть разныет. Затем найденную половинку опять делят на две равные части, снова выбирают одну из двух половинок, содержащую корень, и т. Условием окончания служит заданная малость отрезка, где содержится корень. Существуют и более эффективные алгоритмы, например выбор точки не в середине отрезка, а ближе к тому краю, в котором значение функции меньше. Затем определяем произведение f a ·f x. Затем новый интервал делим пополам и т. Результаты расчетов представлены в табл. Эта хорда определяется как прямая, проходящая через точки с координатами а,f а и b,f b. Естественно, в полученной таким путем точке x 1 не будет решения, ее принимают за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами x 1,f x 1 и соответствующую границу предыдущего интервала опять проводят хорду, находят x 2 и т. Метод применим только для монотонных функций. Алгоритм метода зависит от свойств функции f х. Все вычисления сведены в табл. Идея, на которой основан метод, аналогична той, которая реализована в методе хорд, только в качестве прямой берется касательная, проводимая в текущей точке последовательности. Уравнение касательной находится по координате одной точки и углу наклона значение производной. Алгоритм записывается следующим образом: 3. Главным теоретическим достоинством метода является квадратичная скорость сходимости, что во многих случаях может привести к сокращению числа вычислений функции при получении решения с заданной погрешностью. В ряде случаев можно применять упрощенный алгоритм, связанный с сокращением числа повторений вычисления производных: вместо вычисления производной в каждой очередной точке f' x i использовать значение производной в начальной точке f' x 0. В рассматриваемом случае процесс начинается с правого конца. К решению приближаемся справа. Условия окончания поиска аналогичны методу хорд. Составим таблицу расчетов табл. Один шаг делается методом хорд, а следующий — с другой стороны — методом Ньютона. При этом интервал, где содержится корень, сокращается с обеих сторон, что обусловливает другое условие окончания поиска. Поиск можно прекратить, как только разница между правым и левым концами интервала станет меньше предварительно заданной погрешности e. Алгоритмы используемых методов следует выбирать с учетом упомянутых выше особенностей функции. Для примера рассмотрим уточнение корня х 1. Все промежуточные результаты вычислений сведем в табл. Рассматриваемый метод реализует третий подход из представленных в концепции. Затем выбирают начальное значение х 0 и подставляют его в левую часть уравнения, но f х 0 ¹ х 0поскольку х 0 взято произвольно и не является корнем уравнения. Получающаяся таким образом последовательность: х 0, х 1, х 2, х 3 х 4. Иллюстрация метода итерации для различных ситуаций приведена на рис. В про­тив­ном случае последовательность расходится от искомого решения "метод не сходится". Видно, что последовательность: х 0, х 1, х 2, х 3 х 4. Это всегда будет иметь место в том случае, если тангенс угла наклона f х в окрестности корня по модулю больше единицы. Часто используют упрощенное условие окончания поиска x i — x i+1 £ eне вычисляя максимальное значение производной, но в этом случае погрешность решения может не соответствовать заданной т. Результаты расчетов приведены в табл. Как видно из графиков рис. График функции У х б Уточнение корня Метод деления отрезка пополам Для вычисления применяем формулу. Результаты расчета приведены в табл. Результаты расчета приведены в табл. Результаты расчета приведены в табл. Комбинированный метод Для вычисления применяем формулы: ; 3. Результаты расчета приведены в табл. За начальное значение х примем значение 1,2825. Расчеты приведены в табл. Для начала решим уравнение графически. Проведем табулирование нашего полинома на интервале от -1 до 1 с шагом 0,2. Результаты вычислений приведены на рис. На графике видно, что функция три раза пересекает ось Оx, а так как полином третьей степени имеет не более трех вещественных корней, то графическое решение поставленной задачи найдено: была проведена локализация корней, т. В поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения уравнение должно быть записано таким образом, чтобы его правая часть не содержала переменную. В поле Значение вводим правую часть уравнения, а в поле Изменяя значения ячейки дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную. Заметим, что вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. После нажатия кнопки ОК появится диалоговое окно Результат подбора параметра рис. Диалоговое окно «Результат подбора параметра» Два оставшихся корня находим аналогично. Результаты вычислений будут помещены в ячейки А15 и А16 см. Необходимо решить его с помощью средства MS Excel Подбор параметра — с точностью 0,001. Проведем локализацию корней нелинейного уравнения. Построим графики f x и g x. Для этого в диапазон А3:А18 введем значения аргумента. Результаты вычислений и построение графиков f x и g x в одной графической области показаны на рис. Результаты вычислений и построение графиков f x и g x На графике видно, что линии f x и g x пересекаются дважды, т. Результат поиска решения будет выведен в ячейку Н17 рис. Результат поиска решения 3 ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ 1. Что дает отделение корней? Можно ли аналитически отделить корень функции с разрывами? Можно ли произвольно задавать значения на отрезке по оси х для отделения корней? Что при отделении корней называют критическими точками? Сколько корней может быть у функции, если у нее существует лишь одна критическая точка? Какие основные проблемы могут встретиться при аналитическом отделении корней? УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ Метод деления отрезка пополам 1. В чем заключается геометрический смысл метода половинного деления? Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделенный корень уравнения с заданной погрешностью? Как выбираются концы отрезка следующего интервала в методе половинного деления? Можно ли найти корень методом половинного деления, если он находится на границе интервала? Какие корни позволяет определить метод хорд? В чем заключается геометрический смысл метода хорд? Всегда ли метод хорд позволяет вычислить отделенный корень с заданной погрешностью? Как выбираются концы отрезка интервала в методе хорд? Какой конец хорды неподвижен при реализации метода? В чем заключается геометрическая интерпретация метода Ньютона? Из чего следует исходить, когда выбирается в методе Ньютона первое приближение x 0? В каких случаях применение метода Ньютона не рекомендуется? Метод простой итерации 1. Что называется сходимостью метода итераций? С какой стороны может осуществляться приближение к корню в процессе итераций — слева или справа? Если на заданном отрезке имеется два корня, то что можно сказать о сходимости метода итераций на этом отрезке? Что означает несходимость процесса итераций? Есть ли отличие условий окончания поиска при "монотонном" и при "колебательном" приближении к корню?


Другие статьи на тему:



 
Copyright © 2006-2016
rusnp.ru